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为什么人类永远造不出来克莱因瓶?

为什么克莱因瓶只能存在四维空间

克莱因瓶是什么?

1882年,著名数学家菲立克斯·克莱因发现了后来以他的名字命名的著名“瓶子”。

克莱因瓶的结构可表述为:一个瓶子底部有一个洞,现在延长瓶子的颈部,并且扭曲地进入瓶子内部,然后和底部的洞相连接。和我们平时用来喝水的杯子不一样,这个物体没有“边”,它的表面不会终结。它和球面不同 ,一只苍蝇可以从瓶子的内部直接飞到外部而不用穿过表面,即它没有内外之分。正是因为如此,克莱因瓶是永远装不满水的。

所以它最初的命名是 “Kleinsche Fl?che”,也就是克莱因平面,没有内部外部之分,但是后来传成了克莱因瓶。

克莱因瓶在现实生活中是无法实现的,现在我们所看到的克莱因瓶其实都是假货。

克莱因瓶是一个三维概念物,所以它只能存在于四维空间,如果我们一定要将它展现在三维空间的话,只能将就的让它表现得自己和自己相交一样,但其实克莱因瓶的瓶颈是穿过四维空间再和瓶底圈连的,并不会穿过瓶身。

如果把克莱因瓶沿着它的对称线切下去,竟会得到两个莫比乌斯环,把一根纸条扭转180°后,两头再粘接起来做成的纸带圈,具有魔术般的性质。普通纸带具有两个面(即双侧曲面),一个正面,一个反面,两个面可以涂成不同的颜色;而这样的纸带只有一个面(即单侧曲面),一只小虫可以爬遍整个曲面而不必跨过它的边缘。这种纸带被称为“莫比乌斯带”。

如果莫比乌斯带能够完美的展现一个“二维空间中一维可无限扩展之空间模型”的话,克莱因瓶只能作为展现一个“三维空间中二维可无限扩展之空间模型”的参考

四维空间和四维时空并不是一个概念,四维空间我们一般是指标准欧几里得空间,;四维时空指的是闵可夫斯基空间概念的一种误解。人类作为三维物体可以理解四维时空(三个空间维度和一个时间维度)但无法认识以及存在于四维空间,因为人类属于第三个空间维度生物。

零维是点,没有长度、宽度及高度。一维是由无数的点组成的一条线,只有长度,没有其中的宽度、高度。二维是由无数的线组成的面,有长度、宽度没有高度。三维是由无数的面组成的体,有长度、宽度、高度。

因为人的眼睛只能看到二维,二维生物看对方只有一条线。人的双眼看到的是两个二维投影,经过大脑处理形成一个整体的视觉。也就是说人类只能看见二维图像,却能理解这个世界是三维的。

因为构成三维的三元素是长宽高,即三个互相垂直的直线,我们单眼看世界的时候,上下是高,左右是宽,所以看到的世界是二维的。

但是我们眼睛去看这个世界,产生的画面远近是不同的,通常是右远左近,但不绝对,而正是这个距离感的产生,弥补了三维需要的长,所以我们才能理解这个世界是三维的。

克莱因瓶只能是四维空间的产物

这种瓶子根本没有内、外之分,无论从什么地方穿透曲面,到达之处依然在瓶的外面,所以,它本质上就是一个“有外无内”的古怪东西。

克莱因瓶是不可能嵌入三维空间中的。在三维空间中,克莱因瓶必然跟自身相交,用数学的语言说,这样得到的克莱因瓶在三维中的实现是克莱因瓶在三维空间中的浸入。

就好像二维生物生活在平面,它是没有两个面的,如果我们用纸做一个莫比乌斯带,在我们眼中,蚂蚁会爬过连成一体的两个面,才能回到原点。这时候蚂蚁不用翻越纸的边缘,它可以爬行的距离增加了一倍。

对于一只生活在平面内部的二维蚂蚁,它的空间并没有增加,只是被扭曲,然后连接起来了。

所以,这只二维蚂蚁只需要爬行一周,就可以回到原处。

所以,这对于二维空间的“生物”来说他们不能理解空间被扭曲这一事实,当然对于我们三维空间中的人类来说,我们同样不能理解我们的空间正在通过额外的维度对接到自身的内部。

这就是为什么我们永远也造不出来克莱因瓶。

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