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如果时钟的秒针足够长,经过1秒后,秒针末端会超光速吗?

如果一个时钟的秒针特别长,那么,经过1秒之后,秒针的末端会超过光速吗?毕竟,半径越大,线速度越大,只要半径足够大,线速度岂不是就能超光速了?

爱因斯坦的相对论指出,光速是不可超越的,这个速度是宇宙中最快的运动速度。但如果做一些思想实验,超光速似乎是轻而易举的事情,我们很容易构思出超光速现象。

想象一下,如果一个时钟的秒针特别长,那么,经过1秒之后,秒针的末端会超过光速吗?毕竟,半径越大,线速度越大,只要半径足够大,线速度岂不是就能超光速了?

关于这个问题,可以先通过中学物理来做一个简单计算。在秒针旋转过程中,秒针各处的角速度(ω)是相等的,而线速度(v)会随着半径(r)的增大而变快,具体公式如下:

v=rω

秒针一秒,相当于转过一圈的1/60,其转速(n)为1/60 r/s,所以秒针的角速度ω=2πn=π/30 rad/s(或者也可以用角速度和周期T的关系ω=2π/T来求解)。

如果让秒针末端的线速度大小达到光速(299792458 m/s),这样就能算出秒针的长度约为286.28万公里。这个长度相当于地月平均距离的7.46倍,只要超过这个长度,秒针末端的线速度就会实现超光速。由此来看,超光速并不难。

但事实并非如此。秒针原点在发生转动时,不会瞬间带动秒针末端一同旋转,“转动”本身的传播速度是有限的。并且“转动”传播速度很慢,远远慢于光速,这个速度其实就是音速,或者准确地说是声音在介质中的传播速度。

当秒针原点开始转动时,秒针材料中产生的应力或者说形变会在原子间传递。本质上,这是原子间的电磁力相互作用。虽然电磁力的传播速度为光速,因为这种力的载体为光子,但原子间是有距离的,传播是需要时间的,所以速度不是无限的,也不是光速。

事实上,材料中的应力会以机械波的形式向外传播,这与声音在介质中的传播方式是一致的。因此,应力波的传播速度为音速,其计算表达式为:

v=√(Y/ρ)

其中,Y为材料的杨氏弹性模量,ρ为材料的密度。

如果时钟秒针是由钢铁制成的,那么,应力波在这种秒针中的传播速度约为5200米/秒。按照这个速度来算,当秒针原点转动时,秒针末端要过大约6.37天之后才会转动,所以不可能会出现超光速现象。

同样地,如果在一端推动一根几百万公里或者几光年长的杆子,另一端也不会被瞬间推动。只有经过几天之后,应力波到达杆子的另一端,那一端才会被推到。总之,我们无法用1光年长的杆子瞬间戳到另一端的人,超光速无法通过这样的形式实现。

在通常情况下,钢铁等材料一般会被认为是刚体,其弹性模量无限大。这样的处理不会引起很大的误差,因为应力波的传播速度已经很快了。

但在这个思想实验中,不能假设绝对刚体存在,否则就会出现超光速。无论秒针的长度有多长,通过转动的方式都不能使其末端的速度大于光速,这会受到相对论的限制。

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