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怪物与月光:菲尔兹奖得主Borcherds的数学工作

这次是一场很难有机会听到的演讲, 从故事的开头就谈到许多数学最基本的东西及其典故。

“这次是一场很难有机会听到的演讲, 从故事的开头就谈到许多数学最基本的东西及其典故。一般研究生做数学研究的时候, 都是比较偏重技术性, 从定义定理开始, 即便不知道这些定理的由来, 也还是继续进行技术性的逻辑推导。但不管从任何角度来看, 我们做研究都必须知道故事的来龙去脉及源头, 这样才能提供继续往下走的动力。“

原载:《数学传播》35卷第4期
演讲人:林正洪(台湾中央研究院数学研究所)

时间:2011年 12月24日

来源:和乐数学

怪物与月光:菲尔兹奖得主Borcherds的数学工作

来源:https://www.quantamagazine.org/mathematicians-chase-moonshine-string-theory-connections-20150312/

今天的演讲题目怪物与月光有点不大像数学。如果你来这边觉得会听到我谈月光怪兽, 对不起, 今天不谈月光怪兽, 也不说月光之下的怪兽, 我们今天谈的是实实在在的数学问题。也许你会感到疑惑, 为什么名字那么奇怪, 怪兽与月光, 我希望大致解释一下为什么用这样的名字来看数学问题, 另一个很重要的问题是 Richard Borcherds 在这个月光与怪兽之间做了些什么事情, 让他获得1998年的菲尔兹奖, 这是最主要要说的内容, 当然这之间多少会提到些数学, 有些简单, 有些较难。但是我希望大家可以趁此机会了解, 其实数学家并不是像大家想象中那样死板, 我们想的东西其实有很多是跟一般人一样。

首先, Monster是什么, 第二个问题Moonshine月光是什么, 为什么用那么奇怪的名字命名数学问题。当然, 除了解释是什么之外, 也会提到为什么是有趣的, 或是说为什么很特别。接下来, 简单介绍一下Richard Borcherds。他的第一篇论文发表的时候只有20出头, 在25、26岁时就有些非常重要的结果。我也会简单地讲一下他做了什么事情, 有那些贡献令我们对 Monster 和 Moonshine 有更好的了解。

什么是 Monster? 什么是 Moonshine? 要了解这个问题必须要先知道一般人对 Monster 与 Moonshine 的印象是什么, 接着才延伸到数学问题, 然后你就会发现 Monster 与 Moonshine 这两个称呼是有其意义。一旦了解它背后的意义, 就会发现这两个命名一点都不奇怪。

那什么是 Monster? 根据字典的定义, 所谓的怪物一般是想象的、既大又丑又可怕。我们的重点就在大与可怕。美丑是主观的我们忽略不多谈, 但是, 大是一定要够的。日本人对 Monster 有其他的想法, 他们的怪物可以是小巧可爱的, 例如皮卡丘等, 与之前的定义相反。目前研究 Monster 的数学家中有很多是日本人, 对他们来说这是非常漂亮、可爱的。

那么 Moonshine是什么? 用中文来说就是月光, 意思是什么? 一种解释是不是很亮、模糊不清,但漂亮的。另一种比较靠近我们今天主题的解释是不大实在、空妄的, 英文有一句俚语moonshine in the water, 也就是中文的水中月, 看得到摸不到, 不实在, 虚无飘渺的。所以某种程度来说, 为什么命名为月光, 是因为它是不实在的, 没有可以触摸的方法, 不知道会发生什么事情。另一种解释是英文的俚语, moonshine 指的是走私或私酿的酒。如果在网络上搜寻 moonshine, 可以看到许多酒精私酿的图片。等一下大家就会知道为什么要命名为 moonshine, 因为它就像私酿酒一样, 还没有取得合法的资格。

实际上我们所说的 Monster是什么, 简单的说它是个有限群 (finite group)。如果学过代数, 就会知道什么是有限群, 是在研究些什么东西。Monster是最大的一个散在单群(sporadic simple group), 要解释什么是单群比较困难, 从简的解释就是它没有正规子群 (normal subgroup)。英文中sporadic指的是分散的、不常出现的, 当你研究单群的时候可以发现, 有许多的单群例子, 而sporadic是分散的, 没有一个好的方法说明它是什么样的群。在数学里面若有一个对象(object)是 sporadic、exceptional, 也就是不清楚来源, 也不清楚与其它对象之间的关系, 这些东西在某种程度上都是重要的, 必须费心思去研究。

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Sporadic 群总共有26个不同的群, 其中Monster是最大的, 剩下的各有不同的名字, 有5个是Mathieu群, Janko(注: Zvonimir Janko (1932- ), 克罗西亚群论学家, 群论中Janko群就是以他为名。)发现了四个, 称为 Janko群, Conway(注: John Horton Conway (1937-2020), 英国数学家, 在组合、几何、数论、群论、物理等都有很重要的工作。)发现三个, 是 Conway群, Fischer(注: Bernd Fischer (1936), 德国数学家, 以在有限单群的贡献最为人所知。)有三个群, 是Fisher群, 其他分别由不同的人发现也都各有命名。在这当中, Monster 和 Baby Monster 也都是由 Fischer 发现的, 不过一般称为 Monster 和 Baby Monster, 并没有用 Fischer 的名字命名。另外, 还有两个群分别称为 Thompson(注: John Griggs Thompson (1932-), 美国数学家, 1970年获颁菲尔兹奖, 2008年获颁 Abel 奖, 以有限群的研究闻名。)和 Harada。Harada(注: Koichiro Harada 原田耕一郎, 群论学家, 证明了Gorenstein-Harada 定理。)是我博士班时的指导教授, 从他那边听了不少故事, 可以与大家稍作分享。另外, 这个图表也有稍作区别, 加了上线的就是 Monster本身, 加了底线的群 与 Monster 没有直接关系, 黑色的群与 Monster 有直接关系, 是Monster的子群或商子群 (quotient subgroup)。一旦清楚理解 Monster 群, 也就知道了其他20个群, 这也是为什么大部分的注意力都集中在 Monster 群上, 因为它不但是最大的群, 还包含了其他20个群。现在大部分的人都称 Monster 群为 Fischer-Griess Monster。为什么会有人喜欢称他为 Friendly Giant, 因为缩写 F. G. 同时也是 Fischer 和 Griess(注: Robert Griess (1945- ), 美国数学家。) 的这两个姓氏的第一个字母。现在称Monster, 则变成了 M。另一种写法是

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?代表它们与 Fischer 的工作是相关的。

什么是Moonshine呢? 这没办法用三言两语详细说明, 但是简单来说它代表 Monster 群特征标(character) 和数论中一种很重要的函数——模函数(Modular function) 的神秘关系, 是一个完全出乎意料的关系。模函数和群看起来没有甚么特别的关系, 在研究数论或黎曼曲面时常会遇到模函数, 但跟有限群好像没有太大关系。有了这个奇怪的关系, 数学家们第一个想知道的问题就是它是否正确, 第二个问题自然而然地就是为什么是正确的。如果是正确的, 有没有一个好的解释。当然, 解释的好坏见仁见智各自认定, 不过总是有一个这样的关系存在。重点是它把Monster的研究推广到纯粹有限群的研究之外, 它带到数论、李代数、甚至是物理的领域。在我继续之前, 先简单地解释有限群是什么。群论可以说是在19世纪初期, 从 Evariste Galois(注: Evariste Galois (1811-1832), 法国数学家, 最有名的工作是多项式的可解性, 他的研究奠定了现代代数基石。)开始的。他有个很重要的工作是有关多项式方程的开方解。他非常的年轻, 过世的时候才21岁, 逝世的原因是与人决斗。所以可以想象这工作是在18、19岁完成的, 他也曾经入狱, 是个有许多故事的人, 很值得说上一说。为什么他那么重要, 事实上整个有限群论的观念可说是由他一手所建立的。举个简单的例子, 中学的时候学过二次方程式的解, 可以用以下这个特定的方法来做。

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?所以只要利用开方就可以完全解决这个问题。同样的方法可以套用在三次、四次或更高次的方程式吗? 如果是三次、四次的方程, 是有类似的方法, 不过解不是这样清楚、容易, 许多书都可以查到, 但是基本上有个求解的算法, 只需要利用开方这个程序, 就可以完成。

大约也是在19世纪时, Abel(注: Niels Henrik Abel (1802-1829), 挪威数学家, 以证明五次方程的根式解的不可能性和对椭圆函数论的研究闻名, 阿贝尔奖就是为了纪念他而设立。)证明了5次或更高次的方程, 这样求解的方式是不可行, 做不出来的。但是他只提出了一个做不出来的例子, 并没有清楚的列出可行与不可行的方程, 而我们知道有些方程是可行的。

相对之下, Galois 则是把可使用开方处理与不可使用开方处理的条件清楚写出。他的想法是革命性的, 在他之前, 重点放在求解的各式方法, 但他却把重点放在研究解本身的对称性(symmetry)上。何谓解的对称性? 当有许多解的时候, 可以对解做置换 (permutation)——就是变换它们的相对位置, 但却不影响解之间的代数性质。Galois称这些置换为"a group of permutation of roots"(解的置换群), 大家会想为什么这样的数学要称为"群(group)", 这里可以看到"群(group)"这一说法的起源。在群之外, 他也提出了另一个观念"域(field)", 但我就不多谈了。现代一般称这个群为Galois 群, 这个群可以看做对称群的子群, 以下是一个简单的例子。

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所以, 群是什么? 你可以把群视为研究特定对象 (object) 对称性的工具。这研究当然不限于有限群, 无限群也是可以做的。简单的说, 现代群论的研究就是对称性 (symmetry) 的研究。以全等三角形为例, 利用反射使它左右交换, 交换后, 这个三角形还是同样的三角形。如果同时做二次不同的反射, 可以发现, 三角形的顶点被旋转了, 但是还是三角形, 没有改变。这样一来, 这个三角形的对称群 (group of symmetry) 有六个元素 (element), 三个是反射, 另外三个是旋转。这样的群就是现在说的dihedral 群。

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同一个群, 可以用很多不同的方法去讨论。上面例子中的群都是由反射所生成, 所以称之为反射群。

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?那么 Monster 是怎么发现的? 让我说一些历史。之前提过, 很多群的类型都是反射群。反射的阶数是2, 做一次后, 反过来再做一次, 作用就互相抵消。数学上, 阶数为 2 的元素 (element) 被称为对合元(involution)。什么样的群是由对合元所产生的。如果只要求单群, 几乎每个单群都是由对合元所生成, 所以对研究单群的数学家来说, 这是个非常重要的问题? 但这样还是很困难, 因为两个对合元互乘后, 阶数可以是任意的。所以 70 年代初, B. Fischer 问了以下的问题:

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同构于 Baby Monster 的 2 阶扩张(double cover)。他们分别找到证据显示这个群是存在的, 这就是现在说的 Monster 群。这个群的存在与否当时还没确定, 但如果存在的话, 是什么样的呢? 他们发现这个群一定是 6 置换群, 会有两个2阶的共轭类(conjugacy classes), 简言之就是有两类型的对合元(involution)。Monster群的不可约表示的维数最小是 196883, 也就是起码要用 196883X196883 矩阵。这样的大小即便是现在的计算机都没办法处理。另外如假设这 196883 维的不可约表示存在, 可以算出 character table。不单如此, Simon Norton(注: Simon Norton (1952- ), 英国群论学家。)在做完 character table 之后, 发现这个 196883 的表示有个可交换但非结合的代数结构。当然这个代数结构相对Monster是不变的, 也就是Monster 会保存乘积。所以, 所有的东西都是建构在196883的表示是存在的。Thompson 在 1979 年有一篇文章, 讨论如果真的有这个 196883 的表示, Monster 群会是唯一的。所以问题都在如何把这个196883的表示做出来。

1982年Griess发表了这个196883的代数的论文, 实际上, 他在 1980 年就已经公布了这个结果。这件事在当时是一件非常轰动的事情, 还上了报纸新闻, 因为 196883 是一个这么庞大的矩阵, 加上那时候的计算机技术也不甚发达, 所以没有人相信这个群可以那么快就做出来。没想到, Griess用手就把它算出来, 发表的论文也不过是一百页左右。除了把这个 196883 的代数算出来, 他也证明了 Monster 是存在的。后来 Conway跟 Griess 将原来的做法简单化, 把196883加了一个单位元变成196883+1, 因为这是代数结构, 所以希望有单位元, 比较容易处理。这样做的好处是容易处理, 坏处是维度又变大了。

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将是一个模函数 (modular function)。

从前做数论的人没有想过会有这样的东西, 当有了这个猜想以后, 数学家们如 Conway, Norton 等人开始计算试着解释

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?是不是 modular function, 花了很久的时间算这个东西, 算完之后, 得到许多的数字也不知道该怎么办, 到图书馆去查19世纪末的书, 看到许多数字跟刚刚算出来的一模一样。因为一模一样, 所以他就列出这些所有可能的函数, 一共有171个。当然这之间有很多的巧合, 但是从这些巧合可以发现这些函数不是一些无用的东西, 是有意义的, 以前就经常有人研究它。这些函数非常特别, 是所谓的 hauptmodul of genus 0。在此稍微解释一下 2 维的 compact surface 可以用 genus 去分类。球体就是 genus 0。至于 hauptmodul 的意思是指这个函数可产生其它所有同类的函数, 这我就不再解释, 因为是比较技术性的东西。

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?而 Moonshine 这个名称的由来就是因为 Conway, Norton 等人尝试去解释这个关系, 但当时完全没有足够的证据, 也没有证明。他们发表的文章也是数学论文中的一篇奇葩, 因为没有太多的定理, 也少有证明, 只有观察与计算。这样的数学论文是非常少有的。也是因为这个关系在当时还没完全"合法", 所以被称为 moonshine也就一点都不奇怪。

1983年时Frenkel(注: Igor Borisovich Frenkel (1952- ), 俄裔美籍数学家, 主要研究领域在表现理论与数学物理)-Lepowsky(注: James (Jim) Lepowsky (1944- ), 美国数学家, 研究领域包含李带数与顶点代数)-Meurman(注: Arne Meurman (1956- ), 瑞典数学家, 研究领域包含有限群与顶点代数)使用物理学中的顶点算子(vertex operator)做出了 McKay 和 Thompson 所猜想的 Monster 模, 顶点算子的方法对群论来说是全新的, 这些顶点算子开始时是物理学家在1960年代所发明的。在 Frenkel, Lepowsky 和 Meurman 发表了他们文章后不久, Borcherds在美国科学院的 proceedings 上发表了Vertex algebras, Kac-Moody algebras, and the Monster(注: Borcherds, Richard E., Vertex algebras, Kac-Moody algebras, and the Monster., Proc. Nat. Acad. Sci. U.S.A. 83 (1986), no. 10, 3068-3071. )。他在这篇文章中, 定义了一个新的代数系统, 称为顶点代数(vertex algebra)。在文章中他提到 vertex algebra 与 Kac-Moody 和 Monster 的关系, 最特别的是他提到 Frenkel-Lepowsky-Meurman 的 Monster 模是个顶点代数。要注意的是这篇文章是在 proceedings 上发表的, 所以文章很短没有办法把证明纳入。后来, Frenkel-Lepowsky-Meurman 修改他的一些定义, 引入顶点算子代数 (vertex operator algebra) 的观念, 证明 Monster 模是顶点算子代数, 不单如此, Monster 是这个顶点算子代数的自同构群, 所以 Monster 描述一个很大代数系统的对称性 (symmetry)。这个 module 现在称为月光顶点算子代数 (Moonshine Vertex Operator Algebra)。在证明中Frenkel-Lepowsky-Meurman等人必须要用到 Griess 的结果, 所以 Griess 的工作也是非常重要的。

Conway 和 Norton 所提出的171个函数, 后来在1992年被 Borcherds 证明了, 并在1998年获颁菲尔兹奖。他是如何证明的呢? 他用了很繁复的步骤。他先利用Frenkel-Lepowsky-Meurman的月光顶点算子代数制造了一个更大的顶点代数。接着他使用物理学弦论中的"没鬼定理" ("no-ghost" theorem) 建造了一个李代数(Lie algebra), 这是一个广义 Kac-Moody 代数, 目前也被称为 Borcherds 代数, 最初也是由Borcherds所提出。由此可以看出, 为了解决这个问题, 他提出了许多全新的观念, 非常重要, 是以前所不知道的。最后, 他利用李代数特征标 (character) 理论和上同调方法计算了 McKay-Thompson series 的系数, 并证明 Conway 和 Norton 的猜想。由此可以看到, Borcherds做了两件非常重要的事情, 首先, 他理解到要解决这个问题, 必须要用到李代数的特征标 (Charatcer) 的理论, 因此他花了不少功夫去确立广义 Kac-Moody 代数的特征标理论。另外, 他发现研究 Monster 使用顶点算子代数是必须的。以上这些都是非常重要的创见, 他获奖的原因就在这里, 因为完全是以前的人没想到的。不过, 如果仔细去看历史, 会发现大部分工作不是他一个人完成, 是许多人的贡献而成的。

到此, 我们发现这个领域令人惊讶地把许多看似完全没有关联的东西连在一起。第一个当然是有限群, 第二个是模函数, 第三个是李代数的理论, 最后甚至连物理都扯入, 把弦论也带进来了, 因为顶点算子代数最原始的观点都是从弦论那边得来。

简单的说, 顶点算子代数就是物理上的共形场论 (conformal field theory) 的代数结构, 而Monster 是这种代数结构的对称性 (symmetry)。所以最后, 有一个直到目前为止都还没有人能够回答的问题, Monster是不是跟实实在在的物理有关? 可不可能是宇宙中的一种目前还未知的对称性? 研究物理场论都会提到对称性。当然这个很大, 因为我们的宇宙是非常非常大的。

结 语

成功大学数学系许瑞麟主任:这次是一场很难有机会听到的演讲, 从故事的开头就谈到许多数学最基本的东西及其典故。一般研究生做数学研究的时候, 都是比较偏重技术性, 从定义定理开始, 即便不知道这些定理的由来, 也还是继续进行技术性的逻辑推导。但是我觉得不管从任何角度来看, 我们做研究都必须知道故事的来龙去脉及源头, 这样才能提供继续往下走的动力。很谢谢林教授今天带给我们的演讲, 就算不是做这个领域, 相信听了演讲之后, 还是可以有一个最基础的认识。如果以为已经有了一个概念成形, 就算对内容细节还不甚理解, 我以为这场演讲的目的也已经达成。

本文演讲者林正洪教授任职台湾中央研究院数学研究所,整理者陈丽伍为台湾中央研究院数学研究所助理。

本文经授权转载自微信公众号“和乐数学”。

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